如何避免多列的numpy数组的总和不那么精确

Question

我一直假设numpy使用一种pairwise-
sumsum
，它也确保float32-运算的高精度：

import numpy as np
N=17*10**6  # float32-precision no longer enough to hold the whole sum
print(np.ones((N,1),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [17000000.], kind of expected

但是，如果矩阵有多于一列，则似乎使用了不同的算法：

print(np.ones((N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] the error is just to big
print(np.ones((2*N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] error is bigger

可能sum只是天真地将所有值相加。指示是16777216.f+1.0f=16777216.f，例如：

one = np.array([1.], np.float32)
print(np.array([16777215.], np.float32)+one)  # 16777216.
print(np.array([16777216.], np.float32)+one)  # 16777216. as well

为什么numpy不对多列使用逐对求和，并且可以强制numpy对多列也使用成对求和？

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我的numpy版本是1.14.2，如果有作用的话。

Answer 1

此行为是由于减少操作期间numpy访问内存的方式（“ add”仅是一种特殊情况），以提高缓存的利用率。

对于某些情况（如上述情况），可以强制执行成对求和，而不会对性能产生重大影响。但是总的来说，强制执行会导致大量的性能损失-
使用双精度可能会更容易，这可以在大多数情况下缓解上述问题。

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可以将成对求和视为对“加”运算的非常具体的优化，如果满足一些约束（稍后会对此进行详细介绍），则可以进行成对求和。

求和（以及许多其他归约运算）受内存带宽限制。如果我们沿着连续轴线总结寿命好：所述存储器获取到高速缓存的索引i将直接再用于具有索引计算i+1，i+2…不脱离高速缓存被驱逐，事先被用来。

情况有所不同，当求和不是沿着连续的轴进行时：为了添加一个float32元素，将16个float32提取到缓存中，但是其中的15个被逐出，然后才能使用它们，并且必须再次提取-
什么？浪费。

这就是为什么numpy在这种情况下按行进行求和的原因：将第一行和第二行相加，然后将第三行与结果相加，然后是第四行，依此类推。但是，成对求和仅用于一维求和，在此不能使用。

在以下情况下执行成对求和：

• sum 在一维numpy数组上被调用
• sum 沿连续轴调用

numpy尚未（尚未？）提供了一种在不对性能造成重大负面影响的情况下强制执行成对求和的方法。

我的看法是： 目标应该是沿连续轴求和，这不仅更精确，而且可能更快：

A=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="C") #non-contiguous
%timeit A.sum(axis=0)
# 326 ms ± 9.17 ms

B=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="F") # contiguous
%timeit B.sum(axis=0)
# 15.6 ms ± 898 µs

在这种特殊情况下，如果连续只有2个元素，那么开销就太大了（另请参见此处解释的类似行为）。

可以做得更好，例如通过仍然不精确einsum：

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 74.5 ms ± 1.47 ms 
np.einsum("i...->...", A)
# array([16777216.,  16777216.], dtype=float32)

甚至：

%timeit np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# 17.8 ms ± 333 µs 
np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# array([17000000., 17000000.], dtype=float32)

这不仅几乎与连续版本一样快（两次加载内存的代价不像加载16次内存那样高），而且还很精确，因为sum它用于一维numpy数组。

对于更多列，对于numpy和einsum-way，与连续大小写的区别要小得多：

B=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="F")
%timeit B.sum(axis=0)
# 121 ms ± 3.66 ms

A=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="C")
%timeit A.sum(axis=0)
# 457 ms ± 12.1 ms

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 139 ms ± 651 µs per loop

但是对于“精确”技巧而言，性能非常差，可能是因为延迟不再可以被计算隐藏：

def do(A):
    N=A.shape[1]
    res=np.zeros(N, dtype=np.float32)
    for i in range(N):
        res[i]=A[:,i].sum()
    return res
%timeit do(A)
# 1.39 s ± 47.8 ms

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这是numpy实现的细节。

FLOAT_add从此处的with定义代码中可以看出差异：

#define IS_BINARY_REDUCE ((args[0] == args[2])\
    && (steps[0] == steps[2])\
    && (steps[0] == 0))

#define BINARY_REDUCE_LOOP(TYPE)\
   char *iop1 = args[0]; \
   TYPE io1 = *(TYPE *)iop1; \

/** (ip1, ip2) -> (op1) */
#define BINARY_LOOP\
    char *ip1 = args[0], *ip2 = args[1], *op1 = args[2];\
    npy_intp is1 = steps[0], is2 = steps[1], os1 = steps[2];\
    npy_intp n = dimensions[0];\
    npy_intp i;\
    for(i = 0; i < n; i++, ip1 += is1, ip2 += is2, op1 += os1)

/**begin repeat
* Float types
*  #type = npy_float, npy_double, npy_longdouble#
*  #TYPE = FLOAT, DOUBLE, LONGDOUBLE#
*  #c = f, , l#
*  #C = F, , L#
*/

/**begin repeat1
 * Arithmetic
 * # kind = add, subtract, multiply, divide#
 * # OP = +, -, *, /#
 * # PW = 1, 0, 0, 0#
 */
NPY_NO_EXPORT void
@TYPE@_@kind@(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if @PW@
        @type@ * iop1 = (@type@ *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 @OP@= pairwise_sum_@TYPE@(args[1], n, steps[1]);
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(@type@) {
            io1 @OP@= *(@type@ *)ip2;
        }
        *((@type@ *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_@kind@_@TYPE@(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const @type@ in1 = *(@type@ *)ip1;
            const @type@ in2 = *(@type@ *)ip2;
            *((@type@ *)op1) = in1 @OP@ in2;
        }
    }
}

一次生成如下所示：

NPY_NO_EXPORT void
FLOAT_add(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if 1
        npy_float * iop1 = (npy_float *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 += pairwise_sum_FLOAT((npy_float *)args[1], n,
                                        steps[1] / (npy_intp)sizeof(npy_float));
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(npy_float) {
            io1 += *(npy_float *)ip2;
        }
        *((npy_float *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_add_FLOAT(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const npy_float in1 = *(npy_float *)ip1;
            const npy_float in2 = *(npy_float *)ip2;
            *((npy_float *)op1) = in1 + in2;
        }
    }
}

FLOAT_add 可用于一维缩减，在这种情况下：

• args[0]是指向结果/初始值的指针（与相同args[2]）
• args[1] 是输入数组
• steps[0]和steps[2]是0，即指针是标量。

然后可以使用成对求和（用选中IS_BINARY_REDUCE）。

FLOAT_add 可以用于添加两个向量，在这种情况下：

• args[0] 第一个输入数组
• args[1] 第二个输入数组
• args[2] 输出数组
• steps -对于上述数组，从数组中的一个元素到另一个元素。

参数@PW@是1只为求和-对所有其他操作，不使用成对的总和。