第二讲

2020-03-01 154浏览

  • 1.回 顾 位置矢量：描述质点在空间的位置情况。     r  xi  yj  zk 位移：描述质点位置的改变情况       r r (t  t )  r (t ) xi  yj  zk 速度：描述质点位置变动的快慢和方向   r dr   dx  dy  dz  v  lim  r  i  j k t  0  t dt dt dt dt 加速度：描述质点速度的变化情况   2 v dv d r  d 2 x  d 2 y  d 2 z     2 r  2 i  2 j  2 k a  lim t  0  t dt dt dt dt dt
  • 2.1.3 直线运动 1.3.1 直线运动的定义 1.3.2 直线运动的运动学公式 1.3.3 例题分析
  • 3.1.3.1 直线运动的定义 o P( x) x 质点在一条确定的直线上的运动称之 为直线运动 .   质点 P 的位置矢量为r  xi   r xi 质点 P 的位移为  dx  v i 质点 P 的速度为 dt 2   d x 方向？ 质点 P 的加速度为 a  2 i dt
  • 4. dx  v i dt  d x a 2 i dt 2 dx v dt 若 v 与 ox 轴正向相同 相反 dx dx v  0 v  0 dt dt 2 2 2 d x d x d x a  2 a  2 0 a  2 0 dt dt dt 各矢量的方向可用相应的代数量的正负号表示。 代数量的绝对值表示其大小，正负号表示其方向。 中学物理的表示方法
  • 5.1.3.2 直线运动的运动学公式 假定质点沿 x 轴作匀加速直线运动 x0 ，加速度 a 不随时间变化，初位置为 ， v0 初速度为 ，则 任意时刻的速度为多少？任意时刻的位置为多少 dv ？ a dt  dv adt   v v0  at v t v dv 0 adt 0
  • 6.dx 又 v0  at dt  dx  v0  at  dt  x t x dx 0  v0  at  dt 0 1 2  x  x0  v0 t  at 2 v v0  at 由直线运动速度公式和位移公 式消去时间参数可得 2 2 0 v  v  2a ( x  x 0 )
  • 7.1.3.3 例题分析 a  4t 一质点沿 x 轴运动时，它的加速度为 t 0 0  0 x0  10m ，已知 时，质点位于 处，初速度 ，试求其位置和时间的关系式。 1 代公式？ x  x  v t  at 2 0 0 2 错！不是匀加速运动！
  • 8.1.3.3 例题分析 一质点沿 x 轴正向运动时，它的加 速度为 ，若采用国际单位制（ S a kt t 0 I ），则式中常数 k 的单位（即量纲）是 v v0 , x  x0 时， 什么？当 . 试求 质点的速度和质点的运动方程 . 解  a kt a k t dim a L T  2 故 dim k   L T 3 dim t T
  • 9.dv 又因为 a  kt dt  dv ktdt  v v0  at v t v dv 0 ktdt 0 1 2 所以质点的速度为 v v0  kt 2 dx 1 2 1 2  即 v0  kt 亦即 dx  v0  kt  dt dt 2 2   取取取取 1 2  x0 dx  0  v0  2 kt  dt x t 故质点的运动方程为 1 3 x  x0  v0 t  kt 6
  • 10.1.4 平面曲线运动 1.4.1 抛体运动 1.4.2 圆周运动 1.4.3 例题分析
  • 11.1.4.1 抛体运动 v v0  at y  v0 x v0 cos   v0 y v0 sin  v0  a x 0 取  a y  g  o dx  v   v cos  x 0  dt   v  dy v sin  gt 0  y dt ymax xmax 物体在任意时 刻的速度？任 意时刻的位置 ？ x
  • 12. x  v0 cos  t   1 2  y  v0 sin  t  2 gt 物体在空中飞行回落到抛出点高度时所 2v0 sin 用的时间为 T g 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度 y 相同时所经过的水平距离） 为  v02 sin 2 v 0 xmax  ymax g 飞行的射高（即高出抛射点的距离 ) 为  ymax v02 sin 2   2g o xmax x
  • 13.讨论： 若  0 ，则ymax 0 ； 2 v  若  ，则xmax  0 g 4  若  ，则xmax 0 动. 2 ， 此时为平抛运动 ，此时射程最大； ，此时为竖直抛体运 y 抛体运动的轨迹方程为 1 gx 2 y  x tan  2 v02 cos 2   v0 ymax  o xmax x
  • 14.1.4.2 圆周运动 1. 圆周运动的定义 在确定的平面上质点的运动轨迹为圆 周的运动称之为圆周运动 . 2. 圆周运动的加速度
  • 15.如图所示 . 由加速度的 定义可得 :    v v n v  a  lim  lim  lim t  0 t t  0  t t  0  t   a an  v n  法向加速度 an  lim t  0  t  v  切向加速度 a  lim t  0  t Q    a an  a 总加速度  Q vP  vQ  P o P  v  v n   v P  vQ  vP C
  • 16. v dv v a  lim   lim t  0  t t  0  t dt  oPQ ~ CPP   v n an  lim t  0  t a  v P2 v 2   R R   vn PQ   vP R P o P  v vP PQ  lim R t  0  t dv dt  Q vP  vQ Q  v n   v P  vQ  vP C
  • 17.总之 , 圆周运动的加速度可归纳如下：     v  a an  a   a  2 a v dv  an  , a  R  R dt  o   2 2 an a  a  a  a n      an  tan a , v   a 
  • 18.3. 圆周运动的角量描述 角位置： (t ) 取 取 取 rad P ( t  t ) 角量运动方程   (t )     o 角位移： 取 取 取 rad 方向 P (t ) x  平均角速度：  t  d  角速度：   lim   单位为rad s-1 t  0  t dt  d d 2    2  角加速度：   lim t  0  t dt dt -2 单位为 rad s 匀速圆周运动 匀加速圆周运动？
  • 19.v v0  at 角量运动学方程 1 2 x  x0  v0t  at 2 ds v dt dv v2 a  an  R dt 2 2 v  v      t  0  2a ( x  x 0 ) 0  1 2 P ( t  t )      t   t  0 0 2  P (t )    2 2     0 2  (   0 )  o 角量与线量的关系 x s  ds d R  R   s  R   t t dt dt dv d 2 a  R  故a  R , n R  v  R  dt dt
  • 20.小 一、直线运动   r  xi    r   xi  dx  v  i dt  d2x  a 2 i dt 结 匀加速直线运动方程 v v0  at 1 2 x  x0  v0t  at 2 v 2  v02 2a ( x  x0 ) 二、抛物线运动 dx   v x  dt v0 cos    v y  dy v0 sin   gt  dt  x  v0 cos  t   1 2  y  v0 sin  t  2 gt
  • 21.三、圆周运动 1 、线量描述  线速度 v ds v dt  切向加速度 a dv a  dt2 v an  R 方向沿切向 方向沿切向  法向加速度 an 方向指向圆心       a 线加速度 a a an  a a  a  an2  a2 tan  a , v   n a 2 、角量描述 角位置  (t ) 角加速度 角速度   d d 2    2  dt dt d   dt
  • 22.3 、线量与角量的关系 s R v  R a R a n  R 2
  • 23.1.4.3 例题分析 1. 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以 1 与水平成方向 22.5 夹角的初速度 65m s 从西边起跳，准确地落在坑的东边 . 已知 东边比西边低 70m ，忽略空气阻力，取 g 10m s  2 ，问： （ 1 取 矿坑有多宽，他飞越的时间有多长？ （ 2 取 他在东边落地时的速度多大？速度 与 水平面的夹角多大？
  • 24.解 据题意建立坐标系如图所 示y . v 0 22.50  vx 70 m o  x   vy v （ 1 取 若以摩托车和人作为一质点，则其 运动速度为  v x v0 cos 0   v y v0 sin 0  gt
  • 25. x  v0 cos 0  t 运动方程为  1 2  y  y0   v0 sin 0  t  2 gt 当达东边落地时 y 0 ，有 1 2 y0   v0 sin 0  t  gt 0 2 t 7.0s 所以， x  (0 cos  )t  420m
  • 26.（ 2 ） 在东边落地时t 7.0s ，其速度为  v x v0 cos 0 60.1m s  1   v y v0 sin 0  gt  44.9m s  1 于是落地点速度的量值为 v  v x2  v 2y 75.0m s  1 此时落地点速度与水平面的夹角为 vy  tan 370 vx 1
  • 27.2. 已知某质点的运动方程为    2 r  2t  i   3t  4  j t 1s 试求：（ 1 ） 时切向加速度和 t 1s 2 ） 法向加速的大小；（ 时   的曲率半径 .  2 解 因为 r  2t  i   3t  4  j    （1）  dr 所以质点在任意时刻的速度为v  2i  6tj dt    dv 质点在任意时刻加速度为 a  6 j dt
  • 28.故质点在任意时刻速度的大小即速率为 v  2   6t  2 1  9t 2 于是质点在任意时刻切向加速度的大小为 18t dv d 2 a   2 1  9t  dt dt 1  9t 2 因此质点在t 1s 时切向加速度的大 18 小为 a (1)  5.69m s  2 19 因此质点在t 1s 时法向加速度的大 2 2 小为 a (1)   a (1)   a (1) 2 2    n  6   5.69 1.91m s  2 2 2
  • 29.（ 2 ） 因为质点在t 1s 时速度的大小为 v (1) 2 1  9 12 2 10m s  1 所以时 t 1s 的曲率半径 为 2  v (1) 40 R  21m an (1) 1.91
  • 30.4. 已知某质点的运动方程为    r  a  b cos t  i   c  d sin  t  j  d、 取 SI 制，其中 a 、 b 、 c 、 均为常 量（ . 1 ）试证明质点的运动轨迹为一椭圆； （ 2 ）试证明质点的加速度恒指向椭圆中心； （ 3 ）试说明质点在通过如图中给定点 P 时，其速率是增大还是减小？
  • 31.   r  a  b cos t  i   c  d sin  t  j 证明（ 1 ）由运动方程可知  x a  b cos  t   y c  d sin  t 所以消去时间参数得质点的运动轨迹为 2 2 ( x  a) ( y  c)  1 2 2 b d y 故质点的运动轨迹为一椭圆 . o P (a , c ) x
  • 32.   r  a  b cos t  i   c  d sin  t  j （ 2 ）由运动方程可知运动质点的速度为    r   b sin t  i   d cost  j 因此运动质点的加速度为    2 2 r    b cost i     d sint  j y o P   ai  cj x
  • 33.   r  a  b cos t  i   c  d sin  t  j （ 2 ）由运动方程可知运动质点的速度为    r   b sin t  i   d cost  j 因此运动质点的加速度为    2 2 r    b cost i     d sint  j          a  b cost  i   c  d sin t  j    ai  cj   2       r   ai  cj  2    可见，质点的加速度与矢量r   ai  cj  的方向相反，恒指向（ a ， c ）点，作图 如下：
  • 34. a y  x a  b cos t   y c  d sin  t o  t 0 （ 3 ）当  v (a , c  d）   P aai  cj  ( a  b, c ) an x  x a  b 时， 质点位于 (a  b, c ) 点；   y c  x a  当 t  时  质点位于 (a , c  d ) 点 . 2  y c  d ， 由图可知，质点在 P 处作逆时针减速运 动.
  • 35.作业 ： P18 习题 1-17,1-20