B9 2xin

2020-03-01 146浏览

  • 1.回 顾 2 d x 2   x 0 简谐振动的微分方程 2 dt 简谐振动的表达式 ( 动力学方 程) x  A cos  t    振动三要素： 振幅 A ： 决定于振动的范围； k  m 圆频率  ： 决定于振动系统的固有属性； 初相位  ： 决定于初始时刻的状态。 t 0时刻  x0  A cos   v0   A sin  （运动方 程） g  l v02 A x  2  2 0 v0 tg   x0 弹簧振子 单摆
  • 2.9.2.3 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例，来讨论振动系统的能 量. x  A cos   t    dx k    2 v   A sin  t   m dt 质量为 m 的振子在 t 时刻的动能为 1 2 1 1 2 2 2 2 2 E k  mv  mA  sin   t     kA sin   t    2 2 2 1 2 1 2 2  t    E  kx  kA cos 系统的势能为 p 2 2 1 2 系统的总能量为 E  Ek  E p  kA 2
  • 3.2. 质量为 m =0.1kg 的物体，以振幅 A =0.01m 作简 谐振动，其最大加速度为 amax=4.0ms-2 ，求（ 1 ） 振动的周期（ 2 ）通过平衡位置时的动能（ 3 ）总 能量（ 4 ）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） x  A cos   t    d2x a  2  A 2 cos   t    dt  amax  A 2 4.0 amax 1   20 s   2 1.0 10 A 2 2 T  0.314 s  20
  • 4.（ 2 ）因通过平衡位置时的速度最大，所 以 dx 1 2 1 2 2 v   A sin   t    Ek ,max  mv max  m  A dt 2 2  2 10 3 J （ 3 ）总能量 3 E  E k ,max  2 10 J 1 3 E  E E  E  1 . 0  10 J （ 4 ）当 p 时， k p 2 k 1 2 1 2 2   kx  m  x m 2 2 （ x  7.07 10 2 m
  • 5.求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 v02 A x  2  2 0 v0 tg   x0 （二）图像法 x 由振动曲线决定初相 ( 给定振动曲线，写出振动方程 ) x0  A cos  0  0 v 0  A sin  0  0  v0 A x0 0 t 0 sin  0  0  x0  0 arccos A 为四象限角 t
  • 6.m o x x 28 、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如 图所示．当振子处在位移为零、速度为 ωA 、加速度为零和弹性力为零的状态时， 应对应于曲线上的 b,f ________ 点．当振子处 在位移的绝对值为 A 、速度为零、加速度 x A O -A e a t d b f c 为 -ω2A 和弹性力为 -kA 的状态时，应对应 ____________ a,e 点． 于曲线上的
  • 7.30 、一简谐振动用余弦函数表示，其 振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个 特 征 量 为 10Acm =________ ； ω =__________ (/6) rad/s ； φ =___________ ． /3 x (cm) 10 5 O 1 4710 - 10 13 t (s)
  • 8.6 、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程为 ．与之对应的振动曲 y  A cos(t  3 / 4) 线是 y y A y A o t (A) y A o t (B) o A A t (C) o A t (D)
  • 9.求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
  • 10.9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示  A 旋转矢量 : 一长度等于振幅 A 的矢量 在纸 平面内绕 O 点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐 振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表 达式中各个物理量的意义。
  • 11.
  • 12.  A  t  o  在任意刻 t ，矢量A  x x0 x 端点在 x 轴上的投影为 x  A cos   t    沿 ox 轴作简谐振动的物体 在 t 时刻相对于原点的位移 . 所以简谐振动可以用旋转矢 量表示 .  旋转矢量 A 的模 简谐振动的振幅  旋转矢量 A 转动角速度 简谐振动圆频率
  • 13.例 3. 已知 x—t 曲线 , 写出振动方程 2  ? 解 A 2cm   3  t 4 3 1 4 4 3   1 3 4 2  x 2 cos( t )cm 3 3 t 0  2 3 x t  1s A  2   4 3
  • 14.直观地表达谐振动的各特征 量 旋转矢量法优点： 便于解题 , 特别是确定初相 位 便于振动合成  A 所在的象限： 由 x 、 v 的符号确定
  • 15.已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0 时x0 12cm, v0  0, 求： 质点运动到 x = -12 cm 处所需最短时间。  解：作 t = 0 时刻的旋转矢量 A0  作 x = -12cm 处的旋转矢量 A  A -12  A0 o 12 24 x(cm) t min 1  T 0.5 s 6
  • 16.例题：一个作简谐振动的弹簧振子历时四 分之一周期，先后通过相对于平衡位置为 对称的 B,C 两点，设简谐振动的振幅为 A ，试确定 B,C 两点的位置 . t2 C t1  2 o B x T  解 T  2 ,  B,C 两点对称 , 所 4 2 以 2  2 xC   A x B  A cos  A 2 4 2
  • 17.补充知识： 利用旋转矢量法作 x-t 图 : x(cm) x t=0 T t 12 T t 6  A O T t 2 O T t(s)
  • 18.再补充知识： x  A cos   t     dx v    A sin   t    v m cos(t    ) dt 2 2 d x a  2  A 2 cos   t    a m cos(t     ) dt x  速度超前 相位 2 加速度超前  2  4  t  相位 t a t
  • 19.速度、加速度的旋转矢量表示 法：   ,a 沿 X 轴的 投影为简谐运动的速 度、加速度表达式。 M 点v:m A 2 am  A   vm cos(t    ) 2 a am cos(t     ) t  0  a    a M A vx ax X
  • 20.9.3 简谐振动的合成 9.3.1 同方向同频率的 简谐振动的合成 9.3.2 相互垂直的同频率 简谐振动的合成 9.3.3 例题分析
  • 21.9.3.1 同方向同频率的简谐振动的合成 设一个质点同时参与在同一直线 上进行的两个独立的同频率的简谐振动 . 这 一直线为 x 轴 , 设两个简谐振动的运动方 程分别为  x1  A1 cos   t   1    x2  A2 cos   t   2  在任意时刻该质点的位移为 x  x1  x2  Acos   t    其中 A 和  可由旋转矢量图得到
  • 22. x1  A1 cos   t   1    x2  A2 cos   t   2     A  A1  A2  A2  A1 2   1 o x 2 x1 x x  x1  x2  Acos   t    A  A12  A22  2 A1 A2 cos  2   1  A1 sin  1  A2 sin  2 tan   A1 cos 1  A2 cos 2 下面我们重点对合振动的振幅进行讨论 x
  • 23. x1  A1 cos   t   1  A  A  A  2 A1 A2 cos  2   1    x2  A2 cos   t   2     t   2     t   1   2   1 k 0,1,2  （ 1 ） 当  2k 时， A  A1  A2 2 1 2 2 即两个分振动的相位相差为 2 的整数倍时，合振动的 振幅为两个分振动振幅之和 . 合振动振幅最大。振动加 强。 （ 2 ） 当  2k  1 A  A2  A1 时， k 0,1,2 即两个分振动的相位相差为  的奇数倍时，合振动的振幅 为两个分振动振幅之差的绝对值 . 合振动振幅最小，振动 减弱 .
  • 24.例题分析 1. 一个质点同时参与两个同方向、同频 率的谐振动，它们的振动方程分别为 1   x1 0.06 cos  2t    m 6   1   x2 0.08 cos  2t    m 3   试用旋转矢量求出合振动方程 .
  • 25.解 根据振动方程画出它们的旋转矢量图如下图 所示 . 1  1    x1 0.06 cos  2t    m x2 0.08 cos  2t    m 6  3    y    A1  A2  A1  A  A12  A22 0.10m o x   0.06   （ tan    0.75 A2 0.08   0.6  （（      0.4 3 因此合振动方程为 x 0.10 cos  2t  0.4  m
  • 26.9.3.2 相互垂直的两个简谐振动的合成 设一个质点同时参与两个方向互 相垂直的同频率的简谐振动，其分振的运动 方程为  x  Ax cos   t   x    y  Ay cos  t   y  消去时间 t ，得出质点的轨迹方程为 2 2 x y xy 2      2 cos     sin  y  x y x 2 2 Ax Ay Ax Ay 其轨迹曲线如下
  • 27.Ay y  Ax o Ax x  Ay 一般的说这是一个椭圆方程，   y   x 椭圆的具体形状由相位差 决定，下面选择几个特殊的相 位差进行讨论 .
  • 28.x2 y2 xy 2    y   x    2 cos     sin y x 2 2 Ax Ay Ax Ay （ 1 ） 相位差  y   x 0 x ，轨迹方程为 y  0 Ax Ay 在任意时刻质 点离开原点的距离为 2 s  x  y2  Ax2  Ay2 cos   t    （ 2 ） 相位差  y   x  x ，轨迹方程为 y  0 Ax Ay y o x
  • 29.x2 y2 xy 2    y   x    2 cos     sin y x 2 2 Ax Ay Ax Ay  （ 3 ） 相位差  y   x  2 ，轨迹方程为 2 2 x y 2  2 1 Ax Ay 3 （ 4 ） 相位差  y   x  2 ， 轨迹方程为 x2 y2 2  2 1 Ax Ay y x o y o x
  • 30.在一般情况下，即相位差不是上 述特殊值时质点的轨迹是椭圆，但椭圆的长 轴和短轴不再与分振动的振动方向重合 . Ay y  Ax o Ax x  Ay 如果两个相互垂直的分振动的频 率不相同，但频率之比成整数比，则合运动 的轨迹是规则的稳定闭合曲线，称为李萨如 图形，如下图所示 .
  • 31.
  • 32.小 结 1. 简谐振动的旋转矢量表示法 2. 同方向同频率的简谐振动的合成 x1  A1 cos(t   1 ) x 2  A2 cos(t   2 )   x  A cos(t   ) A  A12  A22  2 A1 A2 cos  2k , A  A1  A2 max k 0,1,2, ( 2k  1) , A  A1  A2 min A1 sin  1  A2 sin  2 tg  A1 cos  1  A2 cos  2
  • 33.作业： P223 9 － 5 ， 9 － 10 ， 9 － 12 ， 9-14 ， 9-18
  • 34.5 、一质点作简谐振动，周期为 T ．质点由平衡位置向 x 轴 正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需 要的时间为 (A) T /4. (B) T /6 A/ 2 1 sin t   A 2 (C) T /8  t  6  /6  /6 T t    2 / T 12 (D) T /12 A/2 A x
  • 35.6 、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程为 ．与之对应的振动曲 y  A cos(t  3 / 4) 线是 y y A y A o t (A) y A o o A t (B) A t (C) y t o A t (D)
  • 36.习题 9 － 10 一质点沿 x 轴做简谐振动，振幅为 0.12m ， 周期为 2s ，当 t ＝ 0 时，质点的位置在 0.06m 处，且 向 x 轴的正方向运动，求： （ 1 ）质点振动的振动方程； （ 2 ） t ＝ 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度； （ 3 ）质点在 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动， 再回到平衡位置所需最短的时间。
  • 37.解 : (1) 取平衡位置为坐标原点 , 谐振动方程写 为： x  A cos(t  0 ) 1 其中 A=0.12m, T=2s, 2 T  (s ) 初始条件： t = 0, x0=0.06m, 可得 0  3 0.12 cos 0 0.06 0   3 据初始条件 v0  A sin 0  0, 得 x 0.12 cos(t   3) (m) (2) 由 (1) 求得的简谐振动表达式得 : dx v  0.12 sin(t   3) (ms  1 ) dt
  • 38.dv a   0.12 2 cos(t   3) (ms  2 ) dt 在 t =T/4=0.5s 时，从前面所列的表达式可得 x 0.12 cos( 0.5   3) m 0.104 m v  0.12  sin( 0.5   3) ms  1  0.18 ms  1 a  0.12  2 cos( 0.5   3) ms  2  1.03 ms  2 (3) 当 x = -0.06m 时，该时刻设为 t1, 得 cos(t1   3)  1 2 t1   3 2 3 , 4 3
  • 39.因该时刻速度为负，应舍去4 3 ， t1 1s 3 设物体在 t2 时刻第一次回到平衡位置，相位是 t 2   3 3 2 2 t 2 1.83 s 因此从 x = -0.06m 处第一次回到平衡位置的时间： t t 2  t1 0.83 s。 另解：从 t1 时刻到 t2 时刻所对应的相差为： t   0.83 s  3 2  2 3 5 6 x
  • 40.51 、一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿 x 轴 运动，平衡位置在原点 . 弹簧的劲度系数 k = 25 N·m-1 ． (1) 求振动的周期 T 和角频率 ω ． (2) 如果振幅 A =15 cm ， t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处， 且物体沿 x 轴反向运动，求初速 υ0 及初相 φ ． (3) 写出振动的数值表达式．
  • 41.解： (1) 角频率为 周期为 k  10(s  1 ) m 2π  0.63(s ) T   0  2 A  x0     2 (2) A = 15 cm ，在 t = 0 时， x0 = 7.5 cm ， υ 0 < 0  0    A 2  x 02   1.3(m/s ) 初速为 x0 1 cos    A 2 1   π 3
  • 42.0 sin    0 A 1   π 3 初相为 (3) 振动的数值表达式 1   x 15 10 cos 10t  π (SI ) 3   2