B9 1 peigang

2020-03-01 138浏览

  • 1.振动和波动 。 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动 力学量（如位移） 电磁量（如 I 、 V 、 E 、 B） 共同特征：运动在时间、空间上的周期性 •振动 : 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 •波动 : 振动在空间的传播 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动 。
  • 2.第9章 振 动 学 基 础 k 9. 1 简谐振动的定义 9. 2 简谐振动的规律 9. 3 振动的合成
  • 3.9.1 简谐振动的定义 9.1.1 弹簧振子的振动 9.1.2 简谐振动的定义 9.1.3 例题分析
  • 4.9.1.1 弹簧振子的振动 1. 弹簧振子——理想模型 N F m o x x mg 忽略物体运动时的一切阻力； 忽略弹簧的质量； 忽略物体的弹性 . 2. 弹簧振子的振动特征
  • 5.物体在任意位置 x 所受的力为 F   kx “–” 表示力与位移的方向相反 . 由牛顿第二定律知 2 d x F  ma  m 2   kx dt 2 d x k 所以 x 0 2  m dt 令 k  2 m 2 d x 2 则   x 0 2 dt
  • 6.2 d x 2 2   x 0 dt P210(9-1) 少 “ x” —— 动力学方程 解此二阶常系数线性微分方程可得 x  A cos  t    —— 运动方程 振 幅 圆 频 率 初 相 位 A,  为积分常数 x 可代表任意物理量
  • 7.9.1.2 简谐振动的定义 一个物体作机械振动时，若描 述运动物体状态的物理量 x 满足微分方程 d2x 2   x 0 2 dt 则该物体所作的运动就是简谐振动 . 或描述物体运动状态的物理量 x 按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间 变化 , 即 x  A cos   t    则该物体所作的运动就是简谐振动 .
  • 8.9.1.3 例题分析 1. 试证明摆长为 l 单摆在小幅摆动时的 运动是简谐振动 . 解 a  R 分析摆球的受力如图所示 . o mg sin  ma d 2  g sin  l 2 dt d 2 g 所以 sin 0 2  l dt 当 sin  很小时有 l   T  G
  • 9.2 d g 于是 2   0 l dt g 2   若令 ，则上 l 式可变为 d 2 2    0 2 dt 弹簧振子  2  k m 2  g l 单摆 2 d x 2   x 0 —— 动力学方程 2 dt 所以单摆在小幅摆动时的运动是简谐振 动.
  • 10.9.2 简谐振动的规律 9.2.1 简谐振动的运动学描述 9.2.2 描述简谐振动的三要素 9.2.3 简谐振动的能量 9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示 9.2.5 例题分析
  • 11.9.2.1 简谐振动的运动学描述 简谐振动的运动学方程为 x  A cos   t    此式表示出了作简谐振动物体 的位移随时间变化的关系 . x-t 曲线称之 为振动曲线 . x 2 0 A o  A t 
  • 12.m o x x  A cos   t    x 对运动学方程求导得振动速度为 dx v   A sin   t    dt 对振动速度求导得振动的加速度为 d2x a  2   A 2 cos   t       2 x dt 从以上两式可知，作简谐振动物 体的速度和加速度是时间的周期函数，而且 加速度和位移成正比但方向相反 .
  • 13.系: 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关 初始相位为零时 x x  A cos   t    dx v dt  A sin  t    d2x a 2 dt  A 2 cos  t    2  4  t  t a t
  • 14.9.2.2 描述简谐振动的三要素 x  A cos   t    1. 振幅 A 物体离开平衡位置的最大距离 . 它给出了简谐振动的振动范围 . 2. 相位（  t+ ） 确定振动系统在任意瞬时运动状态的 物理量（任意瞬时的位移 , 速度和加速 度）当 . t 0 时的相位 称为初相 位.
  • 15.x  A cos   t    3. 周期 T 2  完成一次全振动所需的时间 . 频率  表示单位时间内物体完成全振动的次 数 . 它是周期的倒数 . 1  T 圆频率  2  2  T 周期和频率给出了简谐振动往复的快慢 程度 . 振幅 A 圆频率  初相位  简称简谐振动的三 要素 . 4 
  • 16.对弹簧振子有： d2x k  x 0 2 dt m 令 k  2 m k  m 1   2 2 d x 2 则   x 0 2 dt 2  2  T k m m T  2 k
  • 17.怎样用初始条件求振幅和初相位 假设作简谐振动的物体在初始时 v 0 x0 刻的速度和位移分别为 和 x  A cos   t    dx v   A sin   t    dt  x0  A cos  则t 0有  解之可得  v0   A sin  2 v A  x02  02  v0 tg   x0 注： φ 在 [0, 2π] 内有两个解
  • 18.（一）解析 法 x  A cos   t    简谐振动的三要素 : 振幅 A 圆频率  初相位    k m g l 2 v A  x02  02  弹簧振子 单摆 v0 tg   x0
  • 19.例题分析 1. 一个质量为 m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻 弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹 簧伸长了 l =9.810-2m. 如图所示，如果给物体一个 向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度 v =1ms1 ，它就上下振动起来，试写出振动方程 . 平衡时受力分析 F mg  kl mg 解 : 物体处于平衡时的位置为坐标原点 o ，向下为 y 轴的正向，如图所示当物 体偏离平衡位置时它所受的合力为 ky ，因此动力学方程为 2 d y F ma m 2  ky dt k o m y y
  • 20.d2y m 2   ky dt k 2 令   m 则上式变为 2 F kl mg d y 2 2   y 0 dt k o m y y 物体在作简谐振动，只要求出 三要素，即可写出振动方程 . k g 9.8    10s  1 m l 0.098
  • 21.以物体处于平衡位置且向下运 动时为计时起点，则 y0=0 ， v0= 1ms-1 ，  3 于是有y  A cos 0   ,  0 2 2  3  v0  A sin  1  结 结 结 结   2 2 0 2 v A y   2 0 v0 tg   x0 1  0.1m 2 10   3 3   , 从 0式知   2 2 2 2 v A  y02  02  1  0.1m 2 10 该物体的振动方程为 3   y 0.1 cos  10t    m 2  
  • 22.9.2.3 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例，来讨论振动系统的能 量 x. A cos   t    dx k    2 v   A sin  t   m dt 质量为 m 的振子在 t 时刻的动能为 1 2 1 1 2 2 2 2 2 E k  mv  mA  sin   t     kA sin   t    2 2 2 1 2 1 2 2  t    E  kx  kA cos 系统的势能为 p 2 2 1 2 系统的总能量为 E  Ek  E p  kA 2
  • 23.2. 质量为 m =0.1kg 的物体，以振幅 A =0.01m 作简 谐振动，其最大加速度为 amax=4.0ms-2 ，求（ 1 ） 振动的周期（ 2 ）通过平衡位置时的动能（ 3 ）总 能量（ 4 ）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） x  A cos   t    d2x a  2  A 2 cos   t    dt  amax  A 2 4.0 amax 1   20 s   2 1.0 10 A 2 2 T  0.314 s  20
  • 24.（ 2 ）因通过平衡位置时的速度最大，所 以 dx 1 2 1 2 2 v   A sin   t    Ek ,max  mv max  m  A dt 2 2  2 10 3 J （ 3 ）总能量 3 E  E k ,max  2 10 J 1 3 E  E E  E  1 . 0  10 J （ 4 ）当 p 时， k p 2 k 1 2 1 2 2   kx  m  x m 2 2 故 x  7.07 10 2 m
  • 25.小 结 2 d x 2   x 0 简谐振动的微分方程 2 dt 简谐振动的表达式 ( 动力学方 程) x  A cos  t    振动三要素： （运动方 程） 1 2 振幅 A ： 决定于振动的能量；E  2 kA k  圆频率  ： 决定于振动系统的固有属性； 初相位  ： 决定于初始时刻的状态。 t 0时刻  x0  A cos   v0   A sin  m g  l v02 A x  2  2 0 v0 tg   x0 弹簧振子 单摆
  • 26.作业： P223 9 － 5 ， 9 － 9 ， 9 － 10
  • 27.求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 x 由振动曲线决定初相 ( 给定振动曲线，写出振动方程 ) x0  A cos  0  0 v 0  A sin  0  0  v0 A x0 0 t 0 sin  0  0  x0  0 arccos A 为四象限角 t
  • 28.m o x x 28 、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如 图所示．当振子处在位移为零、速度为 ωA 、加速度为零和弹性力为零的状态时， 应对应于曲线上的 b,f ________ 点．当振子处 在位移的绝对值为 A 、速度为零、加速度 x A O -A e a t d b f c 为 -ω2A 和弹性力为 -kA 的状态时，应对应 ____________ a,e 点． 于曲线上的
  • 29.30 、一简谐振动用余弦函数表示，其 振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个 特 征 量 为 10Acm =________ ； ω =__________ (/6) rad/s ； φ =___________ ． /3 x (cm) 10 5 O 1 4710 - 10 13 t (s)
  • 30.6 、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程为 ．与之对应的振动曲 y  A cos(t  3 / 4) 线是 y y A y A o t (A) y A o t (B) o A A t (C) o A t (D)
  • 31.求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
  • 32.9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示 简谐振动可以用运动学方程（振动方程） 和位移时间曲线（振动曲线）来表示 . x  A cos   t    x A o  A t 除此之外，还可以用旋转矢量表示 . 这种几何 图示法可以帮助我们形象直观理解简谐振动中的 三要素 .
  • 33. 自坐标原点作一矢量A ，  矢量 A 以角速度 沿逆时针 x 旋转 ,t 当 时它与 轴 0  t 的夹角为 ，则在任意刻 ，矢量 x 端点在 轴上的投影为  t    x  A cos   A  t  o  x x0 上式恰好是沿 ox 轴作简谐振动的物体在 t 时刻 相对于原点的位移 . 所以简谐振动可以用旋转矢  量表示 . 旋转矢量 A 的模 简谐振动的振幅  旋转矢量 A 转动角速度 简谐振动圆频率 x
  • 34.1   x1 0.06 cos  2t    m 6   1   x2 0.08 cos  2t    m 3   y  A1 x o  A2
  • 35.3. 一个作简谐振动的弹簧振子历时四 分之一周期，先后通过相对于平衡位置为 对称的 B,C 两点，设简谐振动的振幅为 A ，试确定 B,C 两点的位置 . B B O C C
  • 36.3. 一个作简谐振动的弹簧振子历时四 分之一周期，先后通过相对于平衡位置为 对称的 B,C 两点，设简谐振动的振幅为 A ，试确定 B,C 两点的位置 . t2 C t1  2 o B x T  解 T  2 ,  B,C 两点对称 , 所 4 2 以 2  2 xC   A x B  A cos  A 2 4 2