第五讲

2020-03-01 174浏览

  • 1.11 、一个质点同时在几个力作用下的位移为：     r 4i  5 j  6k (SI)    F  3i  5 j  9k 其中一个力为恒力 (SI) ，则此力在该位移过程中所作的功为 (A) -67J ． (C) 67J ． (B) 17J ． (D) 91 J ．
  • 2.13 、对功的概念有以下几种说法： (1) 保守力作正功时，系统内相应的势能增加． (2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零． (3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作 功的代数和必为零． 在上述说法中： (A) (1) 、 (2) 是正确的． (B) (2) 、 (3) 是正确的． (C) 只有 (2) 是正确的． (D) 只有 (3) 是正确的．
  • 3.15 、一光滑的圆弧形槽 M 置于光滑水平面 上，一滑块 m 自槽的顶部由静止释放后沿槽 滑下，不计空气阻力．对于这一过程，以下哪 种分析是对的？ (A) 由 m 和 M 组成的系统动量守恒． (B) 由 m 和 M 组成的系统机械能守恒． (C) 由 m 、 M 和地球组成的系统机械能守 恒． (D) M 对 m 的正压力恒不作功． m M
  • 4.第三章 刚体的定轴转动 运动学 平动 转动 质点 刚体
  • 5.3.1 刚体定轴转动运动学 3.1.1 刚体 3.1.2 刚体的定轴转动 3.1.3 刚体定轴转动的运动学描述 3.1.4 例题分析
  • 6.3.1.1 刚体 刚体就是有一定的形状和大小，但形 状和大小永远保持不变的物体 . 刚体是一种理想模型 . 刚体可以看成是由许多质点构成，每 一个质点称之为刚体的一个 质元 . 可见刚 体是一个特殊的质点组，其特殊性在于在 外力作用下各质元之间的相对位置保持不 变.
  • 7.3.1.2 刚体的定轴转动 相对于某一惯性参照系（例如地面） 固定不动的直线的转动称之为刚体的定轴 转动 . 这条固定不动的直线称之为固定轴 . 为研究方 便，我们将垂直 于固定轴的平面 称之为转动平 面 . 如图所示 .
  • 8.   vi  ri  mi 质元 转动平面 固定轴
  • 9.3.1.3 刚体定轴转动的运动学描述 角位置：  (t ) 单位为 rad 刚体的运动方程 角位移：  单位为 rad  平均角速度：  t  d    lim   角速度： t  0  t dt 单位为 rad s -1
  • 10.       ri  vi  d d 2    2  角加速度：   lim t  0  t dt dt 方向？ 单位为 rad s -2
  • 11.角量与线量的关系  vi  ri   ai  ri   2 a  r   in i 若作匀加速转动—— 角量运动学方程    0   t  1 2    0   0 t   t 2    2   02  2  (   0 )
  • 12.3.1.4 例题分析 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降 机，如图所示 . 滑轮的半径为 r 0.5m ，如果升降机从静止开始以加速度 a 0.4m s  2 匀加速上升，求： （ 1 ） 滑轮的角加速度； （ 2 ）开始上升后 t = 5s 末滑轮的角速度 ； （ 3 ）在这 5 秒内滑轮转过的圈数 ； （ 4 ） 开始上升后t  1s 末滑轮边缘上 一点的加速度（假定缆索和滑轮之间不打 滑） .
  • 13.解 （ 1 ）由于升降机的 加速度和滑轮边缘上的一 点的切向加速度相等，所 以滑轮的角加速度为 a a    0.8rad s  2 r r （ 2 ） 由于 0 0 ，所 以 5 秒末滑轮的角速度为  v    t 4.0rad s  1 （ 3 ）在这 5 秒内滑轮转过的角度为  a
  • 14.1 2    t 10rad 2 所以在这 5 秒内滑轮转过的圈数为  a 10 N 1.6圈 2 (4) 为了图示清晰，将滑 轮放大为如图所示 . o a a 0.4m s  2 an  r 2  r 2 t 2 0.32m s  2  a  r   an a
  • 15.由此可得滑轮边缘上一点在升降机开 t  1s 始上升后 时的加速度为 a  an2  a2 0.51m s  2 这个加速度的方向与滑轮边缘的切线 方向的夹角为  an   1  0.32  0    tan tan    38.7  0.4   a  1
  • 16.3.2 刚体定轴转动动力学 3.2.1 刚体定轴转动的转动定律 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定 律 3.2.4 例题分析
  • 17.3.2.1 刚体定轴转动的转动定律  M 1. 力矩 对于定点转动而言 ： M  Fd  F  Fr sin     M r F o  r d  m
  • 18.对于定轴转动而言：    M  r F    r F o z  r  F// P  F  F 注 意: (1) 力矩是对点或对轴而言的 ; (2) 一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M  0 ；使刚体顺时针绕定轴转动时 M 0 .
  • 19.2. 刚体定轴转动的转动定律 z , 对质元mi ，  由牛顿第二运动定律 F内力   得   F外力  F内力  mi ai  o  i F外力  ri 其中 ai 是质元mi mi  i 绕轴作圆运动的加 速度，写为分量式 如下：   F外力 cos i  F内力 cos i mi ain   F外力 sin  i  F内力 sin  i mi ai
  • 20.z ,  F内力 a i m i 其中ain 和 是质元 绕轴作圆 o  i ri 运动的法向加速度和切向加速度，所以mi  i 2 法向力的作用线过转轴 法向：  F外力 cos i  F内力 cos    m r  , 其力矩为零 i i i .   切向：F外力 sin i  F内力 sin  i  mi ri  2 F外力ri sin i  F内力ri sin  i mi ri   2 F外力ri sinM i   F内力ri sin i   mi ri    外力矩为 内力矩为零  i  i i M  J 刚体定轴转动的转动定律 转 转 转 转 J  F外力
  • 21.3. 转动惯量 转动惯量是刚体作转动时对惯性的量 度描述 . J  mi ri2 i 适用于离散分布刚体转动惯量的计算 J  r 2dm m 适用于连续分布刚体转动惯量的计 算 在国际单位制（ SI ）中，转动惯量 2 kg  m 的单位为千克二次方米，即 .
  • 22.2 J  r 刚体转动惯量的大小与下列因素有关： m dm （ 1 ）形状大小分别相同的刚体质量 大的转动惯量大； （ 2 ）总质量相同的刚体，质量分布 离轴越远转动惯量越大； （ 3 ）对同一刚体而言，转轴不同， 质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小 就不同 .
  • 23.2. 求长为 L ，质量为 m 的均匀细棒 AB 的转动惯量 . （ 1 ）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （ 2 ）对于通过棒的中点与棒垂直的 轴 1. ）如图所示，以过 A 端垂直于棒oo 解 （ 的 为轴，沿棒长方向为 x 轴，原点在轴 dx 上，在棒上取长度元 ，则由转动惯量 2 : J的定义有  x 端点 m dm o x dx B x L m   A   x 2  dx  0 dm L  1 2 L o  mL 3
  • 24.oo （ 2 ）如图所示，以过中点垂直于棒 的 为轴，沿棒长方向为 x 轴，原点在轴 dx 上，在棒上取长度元 ，则由转动惯量 的定义有 : o x dx B x A dm L L o 2 2 L 2 L  2 J 端点  x dm   2 m  m   1 mL2 x  dx   L  12 2
  • 25.4. 试求质量为 m 、半径为 R 的匀质 圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯 dr 量. 解 如图所示 , 由于 质量连续分布，设圆盘 R l o r 的厚度为 l ，则圆盘的 质量密度为m  2 R l J  r 2dm m 1 1 4   r   2r ldr   R l  mR 2 0 2 2 R 2
  • 26.《刚体》 一、基本物理量 运 动 学 角位置  (t ) d    dt 线量与角量之间的关系 v d d 2    2  dt dt r , a r , an r    0   t  1 2       t  t （匀变速） 0 0 2    2   02  2  (   0 ) 2 角量运动学方程    力矩 M  r F ： 转动惯量： J  mi ri2 i 刚体定轴转动的转动定律： 会方向的判定 ！ J  r 2dm m M  J  F m   F m a
  • 27.3.2.4 例题分析 1. 一绳跨过定滑轮，两端 分别系有质量分别为 m 和 M 的物体，且 . 滑轮 M m 可看作是质量均匀分布的圆盘 m ，其质量为 ，半径为 R ， 转轴垂直于盘面通过盘心，如 图所示 . 由于轴上有摩擦，滑 M阻 轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用 . 设绳不可伸长且与 滑轮间无相对滑动 . 求物体的 加速度及绳中的张力 . T1 R o M阻 m a1 m Gm  T2 M a2 GM
  • 28.解 受力分析如图所 示 . 对于上下作平动的 两物体，可以视为质点 R  o ，由牛顿第二运动定律 M阻 m 得  转 m 转 T  mg  ma T1 T2 1 1  a1 转 M 转 Mg  T  Ma  2 2 m 若以顺时针方向转 M 的力矩为正，逆时针转 a2 的方向为负，则由刚体 Gm GM 定轴转动的转动定律得 1  2 T2 R  T1 R  M阻  J  m R   2 
  • 29.据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动 ，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物 体的加速度相等，即 a a1 a2 a  R 联立以上三个方程，得 M阻 ( M  m)g  R a m M m 2
  • 30.mM阻 m ( 2 M  )mg  2 R T1 m ( g  a )  m M m 2 MM阻 m ( 2m  ) Mg  2 R T2  M ( g  a )  m M m 2 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力 T1 T2 矩时，此时有 ，物理学中称这样的 滑轮为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特 伍德机 .
  • 31.3. 试求质量为 m 、半径为 R 的匀质 圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯 量. 解 作示意图如右 , 由于 dm 质量连续分布，所以由 转动惯量的定义得 J  R 2dm m 2R  0 mR 2  m  R  dl   2R  2 o R
  • 32.4. 试求质量为 m 、半径为 R 的匀质 实心球体对中心轴的转动惯量 . 1 dJ  dm r 2 2
  • 33.作业： P73 3-10 ， 3-11