第四讲

2020-03-01 180浏览

  • 1.  回 动量： P mv  t  冲量： I  Fdt t0 顾 力的冲量等于力 F 在所讨论时 间间隔内对时间的定积分。   I F (t  t0 ) 力的冲量还可用平均力（力对 时间的平均值）表示。    动量定理： t Fdt  P  P0 t 0   动量守恒的条件 若 F  Fi 0 i 动量守恒定律：   动量守恒的内 则 P  Pi 常矢量 i 容
  • 2.2.3 动能 动能定理 2.3.1 功 2.3.2 功率 2.3.3 质点的动能定理 2.3.4 质点组的动能定理 2.3.5 例题分析
  • 3.2.3.1 功 1. 功的定义  dW  Fr dr  F   F cos dr     Fr dr dW  F dr  当0   时, dW  0, 力对质点做正功； 2  当  时, dW 0, 力对质点不做功； 2  当   时, dW  0, 力对质点做负功 . 2
  • 4.2. 力沿曲线所做的功 B  F  dr A B W AB  dW   L A   dW  F dr   F dr 3. 功的单位 功的单位为牛 · 米 N m （ ）, 1N m 1J.
  • 5.2.3.2 功率 1. 平均功率 W N t 2. 瞬时功率 ( 简称功   率) W dW F dr     F v N  lim  t  0  t dt dt 3. 功率的单位 功率的单位为焦耳每秒 J s  1 （ ） . 1 1J s 1W
  • 6.2.3.3 质点的动能定理  F  dr m 如图所示 . B   W   F dr A    F dr B A B  v0 m  a ds A dv  m   vdt  A A dt v 1 1 2  m  vdv  mv  mv 02 v0 2 2 B  B v  F  Fn
  • 7.1 1 2 W  mv  mv 02 2 2 1 1 2 令Ek  mv , Ek 0  mv 02 . 2 2 则W  E k  E k 0 —— 质点的动能定理 作用在质点上的合外力所做的功等于 该质点动能的增量 . 若W  0, 则质点的动能增加; 若W 0, 则质点的动能不变; 若W  0, 则质点的动能减小 .
  • 8.2.3.4 质点组的动能定理 1. 内力的功   dW  f 21 dr21 B1 B2     f12 f 21 dr1 dr2   B r21 m2  m1   W   f 21 dr21 r1 r2 A 一对内力所做 A1 A2 的功仅取决于      质点的相对位    内力做功是否为 dW  f12 dr1  f 21 dr2  f 21 dr1  f 21 dr2 零？   移！     f 21 d ( r2  r1 )  f 21 dr21
  • 9.2. 质点组的动能定理 m1  f12 m2  f 21  F2  F1     1 对m1 :  F1 dr   f12 dr  m1v12  l1 l1 2     1 对m2 :  F2 dr   f 21 dr  m2v22  l2 l2 2 1 2 m1v10 2 1 2 m2v20 2
  • 10.    令W外力   F1 dr   F2 dr l1 l2     W内力   f12 dr   f 21 dr l1 l2 1 1 2 E k  m1v1  m2v22 2 2 1 1 2 2 E k 0  m1v10  m2v20 2 2 则W外力  W内力  Ek  Ek 0 —— 质点组的动能定理 W  E k  E k 0 —— 质点的动能定理
  • 11.小 结 功： B W AB  dW   L A   F dr W dW  功率： N  lim t  0  t dt 动能： Ek  1 mv 2 2 动能定理： 质点的动能定理 W  Ek  Ek 0 质点组的动能定理 W外力  W内力 Ek  Ek 0
  • 12.2.3.5 例题分析 1. 从 10 米深的井中把 10 千克的水匀速上 提，若每升高 1 米漏去 0.2 千克的水 . (1) 画出示意图，设置坐标轴后，写出力所作 元功的表达式(2) . 计算把水从井下匀速提到井 口外力所作的功 .  F y 解(1) 建立坐标并作示意图如下：  F G  F ( m  dm ) g (m  0.2 y ) g m dm o
  • 13.  故dW  F dyi (m  0.2 y ) gdy y2 (2) W   ( m  y ) gdy y1 10   (10  0.2 y ) 9.8dy 0 882( J )
  • 14.2. 一质量为 10kg 的质点，沿 x 轴无摩 擦的运动 . 设 t =0 时，质点位于原点， x 0  0, v 0  0 速度为零（ 即初始条件为： ） . 问： （ 1 ）设质点在 F =3+4t 牛顿力的作用下 运动了 3 秒（ t 以秒计），它的速度和加 速度增为多大？ （ 2 ）设质点在 F =3+4x 牛顿力的作用下 移动了 3 米（ x 以米计），它的速度和加 速度增为多大？
  • 15.（ 1 ）设质点在 F =3+4t 牛顿力的作用下运动了 3 秒（ t 以秒计），它的速度和加速度增为多 大？ 解 （ 1 ）设 t 时刻质点速度为 v , 则由动量定理得 t mv  mv 0   Fdt 0 t  ( 3  4t )dt 0  3t  2t 2 dv 3  4t 3t  2t 2 所以v  , a  dt m m 代入数据 t =3s 、 m =10kg 可得速度和 1 2 加速度分别为 v 2.7m s , a 1.5m s .
  • 16.（ 2 ）设质点在 F =3+4x 牛顿力的作用下移动了 3 米（ x 以米计），它的速度和加速度增为多大？ （ 2 ）设移动到 x 位置时质点速度为 v ，则由 动能定理，得 x 1 1 2 2 mv  mv 0   Fdx 0 2 2 x   ( 3  4 x )d x 0 3 x  2 x 2 F 3  4x 6x  4x2 . 所以v  , a  m m m 代入数据 x =3m 、 m =10kg 可得速度和 加速度分别为 v 2.3m s  1 , a 1.5m s  2 .
  • 17.3. 如图所示 . 质量为 M 的小平板车  v0 停靠在小平台旁，有质量为 m 的物块以 进入平板车内 . 设车与地面间的摩擦可以  忽略不计 . 物块与车厢间的摩擦系数为 ，车厢长为 d ，物块进入小车后带动小车 开始运动 . 当车行驶 l 距离时，物块刚  v 好滑到一端的挡板处 . 然后物块与小平板 车以同一速度 运动 . 试分析在上述过   v v 程中 : 0 l d
  • 18.3. 如图所示 . 质量为 M 的小平板车  v0 停靠在小平台旁，有质量为 m 的物块以 进入平板车内 . 设车与地面间的摩擦可以  忽略不计 . 物块与车厢间的摩擦系数为 ，车厢长为 d ，物块进入小车后带动小车 开始运动 . 当车行驶 l 距离时，物块刚  v 好滑到一端的挡板处 . 然后物块与小平板 车以同一速度 运动 . 试分析在上述过 : （ 程中 1 ）物块与平板车组成的质点组动量守恒否？ （ 2 ）质点组的动能守恒否？ （ 3 ） 动量和动能有何不同？
  • 19. v0  v l d 解 （ 1 ）若把物块与车选为一个质 点组，则该质点组在水平方向无外力作用 ，所以质点组在水平方向上动量守恒，在 上述所描述的过程中，初末态的动量相等 ，有 mv 0 ( M  m )v
  • 20.考虑过程中间的某一状态时，物块和 小车的速度不同，此时也有动量守恒的关 系 mv 0  Mv车  mv 块 （ 2 ）在上述所描述的过程中，对于 物块和小车构成的质点组，虽然没有外力 做功，但有一对摩擦内力存在，这一对内力 所做的功分别为 : 物块： 力：  mg 位移为 l + d ，   mg ( l  d )
  • 21.小车：摩擦力 mg ，位移为 l 功：  mgl 质点组的这一对内力做的功的代数和 为，内力做了负功   mg ( l  d )   mgl   mgd 据质点组的动能定理，质点组的动能 将减小同样的数值，所以质点组的动能不 守恒 .
  • 22.（ 3 ）动量和动能的相同点是：二者都 是描述质点运动的状态量 . 动量和动能的不同点是： 动能 动量 标量 矢量 力对空间的积累（功） 力对时间的积累（冲量） 不仅与外力有关而 且还与内力有关 仅与外力的冲量有关 质点间机械运动的传递用动量来描述，机械运动 与其它形式运动的传递用动能来描述 .
  • 23.4. 一个质量为 m 的珠子系在线的一端 ，线的另一端系于墙上的钉子上，线长为 l ，先拉动珠子使线保持水平静止，然后 松手使珠子下落 . 求线摆下 角时这个珠  子的速率 . A 解 如图所示，珠子在从  A 摆到 B 的过程中，合 外力对珠子所做的功为 d    B  T ds W AB   (T  G ) dr B A  B    v   G dr  A G
  • 24.   mg cos dr B A d    mgl cosd 0  mgl sin 对于珠子利用动能定理，得 A   T B ds   v  G 1 2 1 mgl sin  mv B  mv A2 2 2 而 v A 0 v B v ， 所以 v  2gl sin ，
  • 25.2.4 势能 机械能转换及守恒定 律 2.4.1 保守力及保守力的功 2.4.2 势能 2.4.3 功能原理 2.4.4 机械能和机械能守恒定律 2.4.5 能量转化和能量守恒定律 2.4.6 例题分析
  • 26.2.4.1 保守力及保守力的功 1. 万有引力的功  Mm  F  G 3 r r  r2  W引   F dl M r1 r2  r1 r2  r1 Mm    G 3 r dl r Mm  G 2 cos dl r  F   dl r m dr
  • 27.r2  r1 Mm  G 2 dr r  Mm   Mm      G  所所 W引     G r2   r1    y 2. 重力的功 y1    G mg m dr  y2   W重   G dr G y1 y2 y2   o  m g dr y y   mg cos dr y 1 2 1 y2    mgdy y1 x
  • 28.所以W重  ( mgy2  mgy1 ) 3. 弹性力的功  F   F  kx i o   x  x2 x2  W弹   F dx i    kx i dx i x 2 x1 x1 1 2 1 2 所所 W弹    kx2  kx1  2 2  1 x  kx dx
  • 29.根据做功的特点我们可以把保守力与 非保守力定义为： 若某种力做功仅与起末位置有关而与 路径无关，则这种力称之为保守力； 若某种力做功不仅与起末位置有关而 且还与路径有关，则这种力称之为非保守 力. 把保守力存在的空间称之为保守力场 ；保守力和非保守力属于系统（质点组） 的内力 .
  • 30.2.4.2 势能 功是能量改变的量度，把保守力做功 所改变的能量称之为势能（这种能量仅与 位置有关，所以也称位能） . Mm E p引力  G r E p重力 mg y 1 2 E p 弹力 = kx 2 W保守内力  ( E p 2  E p1 )  E p
  • 31.势能是一相对量 . 对于万有引力势能，通常取无穷远处 作为零势能点，即 E p引力( r ) 0 对于重力势能，通常取地面作为零势 能点，即 E p重力( y 0 ) 0 对于弹性势能，通常取弹簧无形变处 作为零势能点，即 E p弹力( x 0 ) 0
  • 32.2.4.3 功能原理  E M  Ek  E p    E M  E k  E p 动能定理： W外力  W内力  E k  E k 0 W内力 W保守内力  W非保守内力 W外力  W保守内力  W非保守内力  E k W外力  E p  W非保守内力 Ek W外力  W非保守内力 E k  E p E M —— 功能原理
  • 33.2.4.4 机械能和机械能守恒定律  若W外力  W非保守内力 0   则 E M  E M 0或 E k  E p  E k 0  E p 0 N 其中 Ek  Eki , i 1 N E p  E pi . i 1 若外力和非保守内力均不做功，或质 点组在只有保守内力做功的条件下，质点 组内部的机械能相互转化，但总的机械能 守恒 . 这就是机械能转化和机械能守恒定 律.
  • 34.2.4.5 能量转化和能量守恒定律 能量既不能消灭，也不能产生；它只 能从一个物体传递给另一个物体，或物体的 一部分传递给另一部分，由一种形式转化 为另一种形式 . 这称之为能量转化和能 量守恒定律 .
  • 35.小 结 保守力：做功与路径无关的力 Mm 引力势能： E p引力  G r 重力势能： E p重力  mg y 1 2 弹性势能： E p 弹力 = 2 kx 保守内力的功： W保守内力  ( E p 2  E p1 )  E p 功能原理：  W外力  W非保守内力  E k  E p  E M   或者 W外力  W非保守内力 ( E k  E p )  ( E k 0  E p 0 )  所 W外力  W非保守内力 0 机械能守恒定律：  所 E M  E M 0所 E k  E p  E k 0  E p 0
  • 36.作业 ： P51 习题 2-14 ， 2-18
  • 37.2.4.6 例题分析 m2 和 m1 1. 如图所示，用一弹簧把质量分别为 m2  m1 的两块木板连接在一起，放在地面上，  弹簧的质量可忽略不计，且 . 问 （ 1 ） 对上面的木板必须施加多大的正压力 F  ：，以便在力 突然撤去而上面的木板跳起来时 F ，恰好使下面的木板提离地面？ （ 2 ） 如果 m1 和m2 交换位置，结果如何？
  • 38. F E p弹 0 x 2 m1 E 0 p重 m1 m2 m2 x1 m1 m2 解 设弹簧的弹性系数为 k , 上面的 木板处于最低状态时的位置为重力势能零 点，弹簧处于自然长度时的位置为弹性势 能零点 , 如图所示 .
  • 39.系统只有重力、弹性力做功，所以系统遵守机械 能守恒定律 . 1 1 2 2 k  x2   k  x1   m1 g  x1  x2  2 2 弹簧必须伸长 x1  m2 g k ，才能使下面的木板 恰能提起，  而当力 F 压在木块 m1 上处于静止状态时，从 力的平衡， x2  F  m1 g  k
  • 40.把 x1 和x2 代入上式，化简可得 F 2  m1 g  m2 g  2 所以 F  m1  m2  g 因为F    m1  m2  g 不是压力，故舍 去所得结果具有对称性，因此 . m2 交 m1 和 换位置结果是不会改变的 .
  • 41.2. 如图所示，质量为 m 的物块从离平 板高为 h 的位置下落，落在质量为 m 的平 板上 . 已知轻质弹簧的弹性系数为 k ，物 块与平板的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰 撞后弹簧的最大压缩量 . h x1 x2
  • 42.解 在物块下落过程：自由落体运动。所 以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为 v1  2 gh 碰撞过程：内力远大于外力，动量守恒。 mv1 ( m  m )v 2 弹簧继续压缩的过程：机械能守恒。 E M  E k   E p 1 E k 0  ( m  m )v22 2
  • 43.质点组的势能变化为 1 1 2 2 E p  k ( x1  x2 )  ( m  m ) gx2  kx1 2 2  1 2 所所   ( m  m )v2    2  1 2 1 2  2 k ( x1  x2 )  ( m  m ) gx2  2 kx1  0 又因为 mg  kx1 联立以上各式，并整理可得 2mg mgh 2 x2  x2  0 k k
  • 44.2 所所所所 mg  mg  mg x2    h   k k  k  因为要求x2  0 ，所以舍去负根， 则碰撞后弹簧的最大压缩量为 2 xmax 2mg  mg  mg  x1  x2    h   k k  k 
  • 45.3. 如图是打桩的示意图 . 设锤和桩 m1 m2 和 ，锤的下落高度为 h 的质量分别为 ，假定地基的阻力恒定不变，落锤一次，木 桩打进土中的深度为 d ，求地基的阻力 f 等于多大？ m1 解 以锤为研究对象， 锤打击桩前作自由落体运动 , 则 v  2 gh h 1 以锤和桩为研究对象， 则锤与桩构成的质点组动量 守恒 . 设锤打击桩后不回跳 ，锤和桩以共同的速度 v 进 入土中，则 m2 d
  • 46.功能原理： W外力  W非保守内力 Ek  E p EM m1v1 ( m1  m2 )v 以锤、桩和地球构成的质点组为研究 对象由功能原理可得 1  fd  ( m1  m2 ) gd  ( m1  m2 )v 2 2 联立以上各式，并求解可得 2 1 m gh f ( m1  m2 ) g  ( m1  m2 )d
  • 47.4. 一质量为 m =3500kg 铝制人造地 球卫星绕地球做圆周运动，轨道高度为 h =100km ，关闭发动机后，由于空气阻力， 它将逐渐减速，最后撞回到地面 . （ 1 ）求卫星在正常轨道时的总能量和 落回到地面后的总能量 . （ 2 ）如果卫星落地后减少的能量全 部以热量的形式被卫星所吸收，它能被全 部熔化吗？它能被全部蒸发吗？ 已知铝的熔解热是 C 3.98 105 J kg  1 ，铝的蒸发热为 C  1.05 107 J kg  1 .
  • 48.解（ 1 ）卫星做圆周运动时，地球对 卫星的引力提供卫星做圆运动的向心力， 2 则 mM e v G 2 m h  Re ( h  Re ) 因此卫星做圆周运动时的总能量为 1 2 mM e E M  E k  E p  mv  G 2 h  Re mM e mM e G G 2( h  Re ) h  Re
  • 49.mM e  G  1.1 1011 J 2( h  Re ) 卫星落回到地面（ v = 0 ， h = 0 ）时 的总能量为 mM e 11 E M   G   2.2 10 J Re （ 2 ）卫星由轨道上落回到地面后， 能量的减少为 E M  E M  E M 1.1 1011 J
  • 50.卫星全部熔化所需要的热量为 9 Q mC 1.4 10 J  E 如果卫星落地后减少的能量全部以热 量的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部 熔化 . 卫星全部被蒸发所需要的热量为 Q m C  3.7 1010 J  EM  Q
  • 51.5. 如图所示 , 劲度系数为 k 的轻弹簧 水平放置 , 一端固定 , 另一端系一质量为 m 的物体，物体与水平面间的摩擦系数为  . 开始时弹簧没有伸长，现以恒力 F 将 物体自平衡位置开始向右拉动，试求系统 的最大势能为 .k m  F 解 由于系统的重力势能不变，所 以系统的势能仅为弹性势能 . 弹性势能最 大处并不在合力为零的位置处，而是在速 度为零的位置处，所以由动能定理得
  • 52.1 2   F   mg  kx dx  mv 0 2 x 1 2 1 2 即  F   mg  x  kx  mv 2 2 2 F   mg  x  kx 2 所以 v  m 2 令 v 0 可求得 xmax   F   mg  k 所以系统的最大势能为 1 2 2 2   E p max  kxmax  F   mg 2 k