中学教师-初中数学考试

《义务教育数学课程标准（2011年版）》附录中给出了两个例子：
例1.计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。
例2.证明例1所发现的规律。
很明显例1计算所得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中后两位数为25，而百位和千位上的数字存在这样的规律：1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，…，这是“发现问题”的过程，在“发现问题”的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，实现“提出问题”进一步实现“分析问题”和“解决问题”。
请根据上述内容，完成下列任务：
（1）分别设计例1、例2的教学目标；（8分）
（2）设计“提出问题”的主要教学过程；（8分）
（3）设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；（7分）
（4）设计“推广例1所探究的规律”的主要教学过程。（7分）

针对“角平分线的性质定理”的内容，请你完成下列任务：
（1）叙述角平分线的性质定理；（5分）
（2）设计“角平分线的性质定理”的教学过程（只要求写出新课导人、定理形成与证明过程），并说明设计意图；（20分）
（3）借助“角平分线的性质定理”，简述如何帮助学生积累认识几何图形的数学活动经验。（5分）

1.题目：同底数幂的除法
2.内容：

3.基本要求：
（1）有板书设计；
（2）让学生体会数学与实际生活的联系，掌握同底数幂除法的方法；
（3）教学中注意条理清晰，重点突出；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。

4.答辩

（1）本节课的教学重难点是什么？

（2）在本节课的教学过程中，你是如何设计探究环节的？

初中数学《平面直角坐标系》主要教学过程及板书设计

《多边形的内角和》是八年级上册的内容，如何引导学生发现和推导出多边形内角和公式是该节课的重点。
(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标，那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”；(10分)
(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计；(6分)
(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计；(6分)
(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中，设计了如下两个问题，你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗？你能基于四边形的内角和的证法，得到五边形、六边形，……，n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。(8分)

案例：
如下是某教师教学“代入消元法解二元一次方程组”的主要环节。
首先，教师引导学生复习二元一次方程组的有关知识。
然后，呈现如下教材例题，让学生独立思考并解决。
例题：篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
针对学生的解答，教师给出了如下板书：

最后，教师强调了两种解法的内在联系，并给出了代入消元法的基本步骤及数学思想。
问题：
(1)该教师教学设计的优点有哪些？（6分）
(2)该教师教学设计的不足有哪些？（6分）
(3)代入消元法的基本步骤及数学思想是什么？（8分）

生活中存在着大量的不等关系。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“能解一元一次不等式，能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题”。请完成下列任务：
(1)依据上述要求，设计一个教学片段，体现学习一元一次不等式的必要性并引入新课；
(2)说明解一元一次不等式与解一元一次方程有什么不同；
(3)设计一道关于解一元一次不等式的巩固习题（不需要解答），概括解不等式的一般步骤，并说明具体的设计意图。

针对“随机事件”起始课的教学，两位教师给出了如下教学设计片段：
   【教师甲】
   设置问题情境：下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
   ①太阳从西边下山；②某人的体温是100度；③ （其中a,b都是实数）；④水往低处流；⑤酸和碱反应生成盐和水；⑥三个人性别各不相同；⑦一元二次方程x2+2x+3 =0无实数解。
   引发思考：把上面的事件①、④、⑤、⑦称为必然事件，把事件（参、③、（俗称为不可能事件，提问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？
   【教师乙】
   在日常生活中我们会发现有些事件是可能发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是必然发生的，在数学中我们怎样定义事件发生的可能性呢？今天就来学习必然事件、不可能事件的概念。
   请完成下列任务：
   (1)请分析两位教师引入“随机事件”概念设计方案的各自的特点；（12分）
   (2)请分析“随机事件”的重、难点；（6分）
   (3)在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“随机事件”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“随机事件”概念的理解。（12分）。

在本节课的教学过程中，你是如何设计探究轴对称现象的?

教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
请你完成下列任务。
(1)设计一个问题情境引入该定理，并说明设计意图。（10分）
(2)设计定理证明的教学片段，并说明设计意图。（10分）
(3)在教学中，为了巩固对该定理的理解，教师设计了如下例题。
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点D，点E，F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。

请设计此题的变式题，以进一步理解和巩固定理。（10分）

《义务教育数学课程标准( 2011年版)》在课程内容中要求：创新意识的培养是现代数学教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。
素材：如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E(不与C，D重合)，压平后得到拆痕MN。
(1)试根据点E在CD上的位置变化，设置适当条件，编制一道数学题目；（不要求解答）
(2)依据上述素材和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”解题教学，撰写一份培养学生观察与发现，归纳与推理能力的教学过程设计。（只需写出教学过程，突出探究的方法与问题即可）

“二次根式”是初中阶段学习的一个非常重要的内容，是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的。本章的学习将为今后进一步学习根式奠定基础。本课对学生的要求是①理解二次根式的概念和意义；②用二次根式的意义和性质求取值范围；③会初步运用二次根式的性质解决简单的实际问题。根据题干来完成下列教学设计：
(1)给出本课程“二次根式”概念的课题引入并写出设计意图；
(2)根据教学要求设计教学环节，给出两个例子以进行知识探究并写出设计意图。

加权平均数可以刻画数据的集中趋势。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数”。请完成下列任务：
(1)设计一个教学引入片段，体现学习加权平均数的必要性；（12分）
(2)说明加权平均数中“权重”的含义；(6分)
(3)设计一道促进学生理解加权平均数的题目，并说明具体的设计意图。（12分）

针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：
①进一步了解一元二次方程的概念；
②进一步理解一元二次方程的多种解法(配方法、公式法、因式分解法等)；
③会运用判别式判断一元二次方程根的情况：
④通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。
问题：
根据上述教学目标，完成下列任务：
(1)为了落实上述教学目标①、②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；(18分)
(2)配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作用。(12分)

学习了平行四边形、三角形的中位线定理后，某教师设计了一节习题课的教学目标：
①进一步理解三角形中位线定理、平行四边形的判定定理；
②能综合运用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理等知识解决问题；
③提高发现和提出数学问题的能力。
他的教学过程设计中包含了下面的一道例题：
如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
问题一求证：四边形EFGH是平行四边形；
问题二如何改变问题中的条件．才能分别得到一个菱形、矩形、正方形?
 
针对上述材料，完成下列任务：
(1)结合该教师的教学目标，分析该例题的设计意图；(10分)
(2)类比上述例题中的问题二，设计一个新问题，使之符合教学目标③的要求；(8分)
(3)设计该例题的简要教学流程(8分)，并给出解题后的小结提纲。(4分)

初中“反比例函数及其图像”设定的教学目标如下：
①理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；
②会画出反比例函数的图像，并结合图像分析总结出反比例函数的性质；
③渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想；
④体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；
⑤培养学生的观察能力，发现问题和解决问题的能力。
完成下列任务：
(1)根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图。
(2)本节课的教学重点是什么？
(3)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么？
(4)请设计一个教学导入。
(5)请设计本节课的小结。

在《代数式》一课的拓展环节有这样一个题目，搭1个正方形需要4根火柴棒。

①按图示方式搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？
②搭10个正方形需要几根火柴棒？
③100个正方形呢？你是怎样得到的？
④如果用x表示搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流。
(1)试求解第④个问题，尽可能有多种解法，并简要分析“多样化”的解题策略设计的作用。
(2)一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现新教材学习目标。

下面是《义务教育教科书（人教版）数学七年级上册》中的内容，据此回答下列问题。


问题：
(1)学生学习绝对值这一节内容的知识背景；
(2)写出这节课的教学重难点；
(3)设计教学过程。

下面是人教版义务教育数学教科书七年级上册的内容，据此回答下列问题。两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10 km，到达A，B两处（图1.2-6）。

它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolute value)，记作|a|

例如，图1.2-6中A，B两点分别表示10和-10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和-10的绝对值都是10.即|10|=10，|-10 |=10。

显然| 0 |=0。

由绝对值酌定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

(1)如果a>0，那么|a|=a;

(2)如果a=0，那么|a|=a;

(3)如果a<0，那么|-a|=-a。

练习：

1.写出下列各数的绝对值：6，一8，一3.9，5/2，-2/11，100.0。

2.判断下列说法是否正确：

(1)符号相反的数互为相反数；

(2)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；

(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；

(4)当a≠0时，|a|总是大于0。

3.判断下列各式是否正确：

(1)|5|=|-5|;

(2)-|5|=|-5|;

(3)-5=|-5|

问题：

(1)学生学习绝对值这一节内容的知识背景；

(2)写出这节课的教学重难点；

   (3)设计教学过程。

问题：
（1）该同学的解题过程哪步错了？分析原因；（6分）
（2）针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片段，并说明设计意图；（10分）
（3）怎样防范这样的错误呢？（4分）

初中"变量与函数"设定的教学目标如下：①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义；②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力：③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情 。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心 。完成下列任务：(1)根据教学目标①，给出至少两个实例，并说明设计意图 。(2)根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图 。(3)根据教学目标③，设计两个问题，并说明设计意图 。(4)本节课的教学重点是什么？(5)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么？(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？

在本节课的教学过程中，你是如何设计探究去括号法则的？

教学内容：《义务教育教科书（人教版）数学七年级上册》第96页中的片段；下面的框图表示了解这个方程的流程：

根据上述提供的教学内容，完成下列任务：
(1)提炼出“解一元一次方程”的一般步骤；
(2)预设学生在学习“解一元一次方程”的过程中可能出现的错误，并提出你的矫正策略；
(3)类比法是数学教学中一种重要的教学方法，请你结合学生学习“解一元一次方程”的经验，设计一个“解一元一次不等式”的教学片段。

针对“一元二次方程”起始课的教学，两位老师给出了如下教学设计片段：
【教师甲】
设置问题：请同学们根据下列问题，只列出含未知数x的方程：
(1)一个正方形的面积为2，求正方形的边长x。
 
预设：学生会分别列出两个方程。
教师要求学生分别整理成方程左侧降幂排列，右侧为零的形式，然后引导学生完成下面两件事：对比“一元一次方程”的定义，为这类方程定义一个名称——一元二次方程。再请学生自行写出几个不同的一元二次方程，并提炼出一元二次方程的一般表达式。
【教师乙】
上课开始。提问：什么是“一元一次方程”?请你根据“一元一次方程”的定义，给出“一元二次方程”的定义，并举出几个“一元二次方程”的例子。在学生举例的基础上，提炼出“一元二次方程”的一般表达式。
请完成下列任务：
(1)请分析两位老师引入“一元二次方程”概念设计方案的各自的特点。(15分)
(2)在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“一元二次方程”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“一元二次方程”概念的理解。(15分)

针对初中数学"二元一次方程"的内容，完成下列任务 。

(1)写出"二元一次方程"这节课的教学目标以及重难点 。

(2)设计一个与二元一次方程有关的例题，并说明你的设计意图 。

(3)举例写出几个适合本节课教学的教法和学法 。

案例：
某学校初二年级的数学备课组针对“勾股定理”一课的教学进行讨论，拟定了如下的教学目标：
①掌握勾股定理的内容，体会数形结合思想；
②学会运用勾股定理。
为了落实上述教学目标，甲、乙两住教师对此给出了不同的教学思路。
【教师甲】
首先，给大家介绍“赵爽弦图”的内容，板书课题，介绍三角形各边的名称。
然后，提问学生勾股定理的相关知识，给出勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
之后，介绍毕达哥拉斯的探索过程，让学生利用“面积法”验证定理内容。
最后，教师给出练习题(在下面的几组边中，找出能构成直角三角形的边长组合：①3，3，3；②3，4，5；③6，4，9；③6，8，10)，学生练习。
【教师乙】
先介绍毕达哥拉斯在朋友家的趣事（毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的地砖图案反映了直角三角形三边中的某种数量关系），之后让学生去看地砖图形，结合毕达哥拉斯的探索过程（面积法：利用三角形三边分别构成不同的正方形，通过三个正方形的面积关系找到直角三角形三边的关系）自主探索三边关系，得出猜想。
然后，课件给出赵爽弦图，结合图形介绍”赵爽弦图”的证明过程，证明猜想。
最后，得出结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
巩固练习，思考讨论：还有没有不同的方法证明勾股定理的内容？
拓展介绍刘徽的证明方法，使学生感受数形结合，以形证数的思想。
问题：
(1)对该备课组拟定的教学目标进行评析并给出你设计的教学目标；
(2)分析甲、乙两位教师教学思路的特点。

简述数学问题设计的原则。

"三角形的中位线"是初中学习三角形知识点中必不可少的内容 。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明和有关应用 。(1)该课程设定需要使学生达到什么能力目标？(2)本课程的教学重点与难点 。(3)教学过程(只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等)及设计意图 。