中学教师-初中数学考试

简述数学问题设计的原则。

在《代数式》一课的拓展环节有这样一个题目，搭1个正方形需要4根火柴棒。
①按图示方式搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？
②110个正方形需要几根火柴棒？
③100个正方形呢？你是怎样得到的？
④如果用x表示搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流。

(1)试求解第④个问题，尽可能有多种解法，并简要分析“多样化”的解题策略设计的作用。
(2)一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现新教材学习目标。

在本节课的教学过程中，你是如何设计探究去括号法则的？

针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：
①进一步了解一元二次方程的概念；
②进一步理解一元二次方程的多种解法(配方法、公式法、因式分解法等)；
③会运用判别式判断一元二次方程根的情况：
④通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。
问题：
根据上述教学目标，完成下列任务：
(1)为了落实上述教学目标①、②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；(18分)
(2)配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作用。(12分)

《义务教育数学课程标准( 2011年版)》在课程内容中要求：创新意识的培养是现代数学教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。
素材：如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E(不与C，D重合)，压平后得到拆痕MN。
(1)试根据点E在CD上的位置变化，设置适当条件，编制一道数学题目；（不要求解答）
(2)依据上述素材和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”解题教学，撰写一份培养学生观察与发现，归纳与推理能力的教学过程设计。（只需写出教学过程，突出探究的方法与问题即可）

初中“反比例函数及其图像”设定的教学目标如下：
①理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；
②会画出反比例函数的图像，并结合图像分析总结出反比例函数的性质；
③渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想；
④体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；
⑤培养学生的观察能力，发现问题和解决问题的能力。
完成下列任务：
(1)根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图。
(2)本节课的教学重点是什么？
(3)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么？
(4)请设计一个教学导入。
(5)请设计本节课的小结。

加权平均数可以刻画数据的集中趋势。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数”。请完成下列任务：
(1)设计一个教学引入片段，体现学习加权平均数的必要性；（12分）
(2)说明加权平均数中“权重”的含义；(6分)
(3)设计一道促进学生理解加权平均数的题目，并说明具体的设计意图。（12分）

下面是人教版义务教育数学教科书七年级上册的内容，据此回答下列问题。两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10 km，到达A，B两处（图1.2-6）。

它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolute value)，记作|a|

例如，图1.2-6中A，B两点分别表示10和-10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和-10的绝对值都是10.即|10|=10，|-10 |=10。

显然| 0 |=0。

由绝对值酌定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

(1)如果a>0，那么|a|=a;

(2)如果a=0，那么|a|=a;

(3)如果a<0，那么|-a|=-a。

练习：

1.写出下列各数的绝对值：6，一8，一3.9，5/2，-2/11，100.0。

2.判断下列说法是否正确：

(1)符号相反的数互为相反数；

(2)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；

(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；

(4)当a≠0时，|a|总是大于0。

3.判断下列各式是否正确：

(1)|5|=|-5|;

(2)-|5|=|-5|;

(3)-5=|-5|

问题：

(1)学生学习绝对值这一节内容的知识背景；

(2)写出这节课的教学重难点；

   (3)设计教学过程。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中要求：创新意识的培养是现代数学教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。
素材：如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E(不与C，D重合)，压平后得到折痕MN。
(1)试根据点E在CD上的位置变化，设置适当条件，编制一道数学题目；（不要求解答）
(2)依据上述素材和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”解题教学，撰写一份培养学生观察与发现，归纳与推理能力的教学过程设计。（只需写出教学过程，突出探究的方法与问题即可）

案例：
为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，一节习题课上，甲乙两位教师各设计了一道典型例题。
【教师甲】
如图1，在边长a的正方形ABCD中，E为AD边上一点(不同于A，D)，连CE，在该正方形边上选取点F，连接DF，使DF=CE。请解答下面的问题：
(1)满足条件的线段DF有几条?
(2)根据(1)的结论，分别判断DF与CE的位置关系，并加以证明。
 
【教师乙】
如图2，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为AD，AB边上的点(点E，F均不与正方形顶点重合)，且AE=BF，CE，DF相交于点M。证明：
(1)DF=CE；(2)DF⊥CE。

问题：
(1)分析两位教师例题设计的各自特点。(10分)
(2)直接写出教师甲的例题中两个问题的结论(不必证明)。(4分)
(3)结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题?(请写出至少两个问题)。(6分)

“二次根式”是初中阶段学习的一个非常重要的内容，是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的。本章的学习将为今后进一步学习根式奠定基础。本课对学生的要求是①理解二次根式的概念和意义；②用二次根式的意义和性质求取值范围；③会初步运用二次根式的性质解决简单的实际问题。根据题干来完成下列教学设计：
(1)给出本课程“二次根式”概念的课题引入并写出设计意图；
(2)根据教学要求设计教学环节，给出两个例子以进行知识探究并写出设计意图。

下面是《义务教育教科书（人教版）数学七年级上册》中的内容，据此回答下列问题。


问题：
(1)学生学习绝对值这一节内容的知识背景；
(2)写出这节课的教学重难点；
(3)设计教学过程。

在《代数式》一课的拓展环节有这样一个题目，搭1个正方形需要4根火柴棒。

①按图示方式搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？
②搭10个正方形需要几根火柴棒？
③100个正方形呢？你是怎样得到的？
④如果用x表示搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流。
(1)试求解第④个问题，尽可能有多种解法，并简要分析“多样化”的解题策略设计的作用。
(2)一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现新教材学习目标。

案例1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法，并简要介绍了方法，且在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“方程”确实是一种有效的数学工具，它能让我们的思维过程更加准确和简明！
但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质（介绍性质，写在黑板上）和简单不等式的解法（解法结合板书复习一遍）。今天，就让我们通过一些带有“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。（介绍新知识）
案例2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想。
例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金如下表所示：

请你帮助设计一下：怎样租船才能使所付租金最少？（严禁超载）
师：谁能公布一下自己的设计方案？（学生都在紧张地思考中，突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了）
生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！（这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止）
师：很好！你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？
生（一下子来劲了）：如果租大船，则需要船只数为48÷5=9.6（只），因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3×10=30（元）。如果租小船，则需要船只数为48÷3=16（只），则所付租金要16×2=32（元）。如果既租大船又租小船……（说到这里，该生卡了壳）（教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话）
师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴（教室里响起一片掌声）。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面让我们一同把剩下的一种租金方案完成吧。

师：今天的课程内容还有一项，那就是请×××同学（示意刚才的同学）谈谈这堂课的感想。
生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……
问题：
(1)案例1中的教学导入形式好吗？说明理由；
(2)你认可案例2中的教师的教学过程吗？说明理由。

案例：
如下是某教师教学“代入消元法解二元一次方程组”的主要环节。
首先，教师引导学生复习二元一次方程组的有关知识。
然后，呈现如下教材例题，让学生独立思考并解决。
例题：篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
针对学生的解答，教师给出了如下板书：

最后，教师强调了两种解法的内在联系，并给出了代入消元法的基本步骤及数学思想。
问题：
(1)该教师教学设计的优点有哪些？（6分）
(2)该教师教学设计的不足有哪些？（6分）
(3)代入消元法的基本步骤及数学思想是什么？（8分）

教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
请你完成下列任务。
(1)设计一个问题情境引入该定理，并说明设计意图。（10分）
(2)设计定理证明的教学片段，并说明设计意图。（10分）
(3)在教学中，为了巩固对该定理的理解，教师设计了如下例题。
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点D，点E，F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。

请设计此题的变式题，以进一步理解和巩固定理。（10分）

案例：
某学校初二年级的数学备课组针对“勾股定理”一课的教学进行讨论，拟定了如下的教学目标：
①掌握勾股定理的内容，体会数形结合思想；
②学会运用勾股定理。
为了落实上述教学目标，甲、乙两住教师对此给出了不同的教学思路。
【教师甲】
首先，给大家介绍“赵爽弦图”的内容，板书课题，介绍三角形各边的名称。
然后，提问学生勾股定理的相关知识，给出勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
之后，介绍毕达哥拉斯的探索过程，让学生利用“面积法”验证定理内容。
最后，教师给出练习题(在下面的几组边中，找出能构成直角三角形的边长组合：①3，3，3；②3，4，5；③6，4，9；③6，8，10)，学生练习。
【教师乙】
先介绍毕达哥拉斯在朋友家的趣事（毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的地砖图案反映了直角三角形三边中的某种数量关系），之后让学生去看地砖图形，结合毕达哥拉斯的探索过程（面积法：利用三角形三边分别构成不同的正方形，通过三个正方形的面积关系找到直角三角形三边的关系）自主探索三边关系，得出猜想。
然后，课件给出赵爽弦图，结合图形介绍”赵爽弦图”的证明过程，证明猜想。
最后，得出结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
巩固练习，思考讨论：还有没有不同的方法证明勾股定理的内容？
拓展介绍刘徽的证明方法，使学生感受数形结合，以形证数的思想。
问题：
(1)对该备课组拟定的教学目标进行评析并给出你设计的教学目标；
(2)分析甲、乙两位教师教学思路的特点。

生活中存在着大量的不等关系。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“能解一元一次不等式，能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题”。请完成下列任务：
(1)依据上述要求，设计一个教学片段，体现学习一元一次不等式的必要性并引入新课；
(2)说明解一元一次不等式与解一元一次方程有什么不同；
(3)设计一道关于解一元一次不等式的巩固习题（不需要解答），概括解不等式的一般步骤，并说明具体的设计意图。

《多边形的内角和》是八年级上册的内容，如何引导学生发现和推导出多边形内角和公式是该节课的重点。
(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标，那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”；(10分)
(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计；(6分)
(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计；(6分)
(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中，设计了如下两个问题，你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗？你能基于四边形的内角和的证法，得到五边形、六边形，……，n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。(8分)

以下为某教师在进行《一元一次不等式组》教学中设计的相关教学活动：
   出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端. 体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克？
   教师问学生：“你们玩过跷跷板吗？先看看题，一会请同学复述一下。”学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板？第一次坐时情况怎样？第二次呢？学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：
   爸爸体重>小宝体重+妈妈体重
   爸爸体重<小宝体重+妈妈体重+一副哑铃重量
   教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重？学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了：“可以列不等式组。”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢？”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他发言：”可以设小宝的体重为戈千克，能列出两个不等式。可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中会遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组……”不等教师说完，学生都齐声答：“列不等式组。”全班12个小组都积极投入到解题活动中了。5分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法解题的完整认识。
   (1)请结合新课标简要分析该教师的教学过程。
   (2)本节课所蕴含的数学思想方法包括什么？
   (3)请设置一道开放题检测学生对本节知识内容的掌握情况。

教学内容：人教版七年级数学上册第96页中的片段：
下面的框图表示了解这个方程的流程：

根据上述提供的教学内容，完成下列任务：
(1)提炼出“解一元一次方程”的一般步骤；
(2)预设学生在学习“解一元一次方程”过程中可能出现的错误，并提出你的矫正策略；
(3)类比法是数学教学中一种重要的教学方法，请你结合学生学习“解一元一次方程”的经验，设计一个“解一元一次不等式”的教学片段。

问题：
（1）该同学的解题过程哪步错了？分析原因；（6分）
（2）针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片段，并说明设计意图；（10分）
（3）怎样防范这样的错误呢？（4分）

“三角形的中位线”是初中学习三角形知识点中必不可少的内容。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
（1）该课程设定需要使学生达到什么能力目标？（8分）
（2）本课程的教学重点与难点。（6分）
（3）教学过程（只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等）及设计意图。（16分）

"三角形的中位线"是初中学习三角形知识点中必不可少的内容 。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明和有关应用 。(1)该课程设定需要使学生达到什么能力目标？(2)本课程的教学重点与难点 。(3)教学过程(只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等)及设计意图 。

下面是某同学在做一道题时的过程："题目：点A在数轴上表示的数是-1，点B表示的数的绝对值是3 。则线段AB的距离是多少？解答：AB的距离＝3-(-1)＝4 。"问题：(1)该同学的哪里出错了？分析原因；(2)针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片断，并说明设计意图；(3)怎样防范这样的错误呢？

案例1：

教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法，并简要介绍方法 。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的"方程"确实是一种有效的数学工具，它能让我们的思维过程更加准确和简明！但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍) 。今天，就让我们通过一些带有选择"决策"意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的 。(介绍新知识)案例2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想 。例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示： 请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少？(严禁超载)师：谁能公布一下自己的设计方案？(学生都在紧张的思考中)(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了 。)生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！(这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止 。)师：很好！你为他们设计了三种方案 。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？生(一下子来劲了)：如果租大船，则需要船只数为48÷5＝9 .6只，因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3×10＝30元 。如果租小船，则需要船只数为48÷3＝16只，则所付租金要16×2＝32元 。如果既租大船又租小船……(说到这里，该生卡了壳)(教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话)师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声) 。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色 。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧 。(在师生的共同研讨中得出)：设租用X只大船，Y，只小船，所付租金为A元 。则：5X+3Y＝48,A＝3X+2Y 。得到：A＝X+32，因为：0＜5X＜48且X为正整数 。所以：X＝9时，A最小值＝29即租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元 。此时有45人(5×9)坐大船，有3人坐小船 。……师：今天的课程内容还有一项，那就是请××同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想 。生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……问题：(1)案例1中的教学导入形式好吗？说明理由；(2)你认可案例2中的教师的教学过程吗？说明理由 。

初中"反比例函数及其图象"设定的教学目标如下：

①理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

②会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；

③渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

④体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

⑤培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力 。

完成下列任务。

(1)根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图；

(2)本节课的教学重点是什么？

(3)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么？

(4)请设计一个教学导入 。

(5)请设计本节课小结 。

针对初中数学"二元一次方程"的内容，完成下列任务 。

(1)写出"二元一次方程"这节课的教学目标以及重难点 。

(2)设计一个与二元一次方程有关的例题，并说明你的设计意图 。

(3)举例写出几个适合本节课教学的教法和学法 。

下面是某同学解方程的过程：求方程x(x-1)＝x 。

解：x(x-1)＝x两边同时除以x得x＝2。

问题：

(1)该同学的解题过程哪步错了？分析原因；

(2)针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片段，并说明设计意图；

(3)怎样防范这样的错误呢？

初中"变量与函数"设定的教学目标如下：①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义；②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力：③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情 。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心 。完成下列任务：(1)根据教学目标①，给出至少两个实例，并说明设计意图 。(2)根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图 。(3)根据教学目标③，设计两个问题，并说明设计意图 。(4)本节课的教学重点是什么？(5)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么？(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？